Let's go! と言えば「行こう！」ということですよね。では、let の意味はなんでしょうか？　人に～させるという動詞なんです。文字通り言えば、私たちを行かせなさいと自分たちで言うわけですから、行きましょうという意味になるのです。カラオケでマイクを握ってなかなか放さない人に「私に歌わせて！」と言いたい時は Let me sing. です。let は、本人のしたいことを(許して)させてやるというのが本義です。ですから Let me ~　というのは、私のしたいことを～させてくださいという、ちょっとへりくだった言い方になります。例えば、お昼をおごってあげたい時、I'll buy you lunch.　と言えば、「おごってあげるよ」となりますし、Let me buy you lunch. なら「(私がそうしたいのだから)おごらせて」と柔らかな表現になります。～してあげるより、～させての方がずっと感じが良いでしょ？　会話の中ではもっと使いたい表現だと思います。

映画に誘われたら、「ちょっとスケジュールチェックさせて」　Let me check my schedule.
即答できなかったら、「少し考えさせて」Let me think it over. とか、「主人と相談させて」Let me talk about it with my husband.
「あとで教えてね」Let me know later.
「親友の花子を紹介させてください」 Let me introduce my best friend, Hanako.
上京してきた友人に「東京、案内させてちょうだい」 Le me show you around Tokyo.
家に食事に来てほしければ、 Let me invite you to dinner at home.
愛する人に「恋人と呼ばせて」Let me call you sweat heart. (昔、一世を風靡した popular song です。）
訪ねてくれた友人に「主人に駅まで送らせますよ」 I'll let my husband drive you to the station.
「父が私を大学にやってくれました」 Father let me go to college.
「両親は、私がロックコンサートにいくことをゆるしてくれなかった。 My parents did not let me go the the rock concert.

make も、～させると言う時に使いますが、let と違って、人が主語の場合は、主語の意思で強制的にさせるという意味合いがあります。物が主語の場合は非強制的です。
カラオケで歌いたくないのに歌わせられたなら They made me sing. です。同じ大学に行くにも、自分は行きたくないのに父親が、女も大学位出ておかなくちゃいかんと言って進学させられたなら、Father made me go to college. となります。
毎日残業をしなくちゃならなかったという場合は They made me work overtime every day.
無理やりサインさせられたら、 They made me sign. (あるいは受け身にして I was made to sign. ーこの場合は to sign としなければなりません。）
「どうしても、あなたにやってもらいます」 I'll make you do it at any cost. （at any cost は是非にもの意味）
「あなたのジョークにはいつも笑っちゃうわ」 Your jokes always make me laugh.
「その知らせに悲しい気分になりました。」 The news made me feel sad.
いつも人に自分の仕事を押し付ける人には Don't make others do your work.

もう一つ　have がありますが、少し長くなりましたので、この次にいたしましょう。